Yves Meyer (francés), Ingrid Daubechies (belga y estadounidense), Terence Tao (australiano y estadounidense) y Emmanuel Candès (francés) han realizado contribuciones pioneras y trascendentales a las teorías y técnicas modernas del procesamiento matemático de datos y señales. Estas son base y soporte de la era digital –al permitir comprimir archivos gráficos sin apenas pérdida de resolución–, de la imagen y el diagnóstico médicos –al permitir reconstruir imágenes precisas a partir de un reducido número de datos– y de la ingeniería y la investigación científica –al eliminar interferencias y ruido de fondo–. En este último punto, estas técnicas están siendo clave, por ejemplo, en la deconvolución de las imágenes del telescopio espacial Hubble y han sido cruciales en la detección de ondas gravitacionales por el LIGO, resultado de la colisión de dos agujeros negros. Las destacadas contribuciones de estos líderes mundiales de las matemáticas al moderno procesamiento matemático de datos y señales se basan esencialmente en dos herramientas diferentes y complementarias: las wavelets (ondículas) y el compressed sensing (detección comprimida) o matrix completion (terminación de la matriz).
Yves Meyer e Ingrid Daubechies han sido líderes en el desarrollo de la moderna teoría matemática de las ondículas, situada en la intersección entre las matemáticas, las tecnologías de la información y las ciencias de la computación. Tras hacer importantes contribuciones en teoría de números en sus inicios, Meyer comenzó a trabajar en métodos para dividir objetos matemáticos complejos en componentes de estructura más simple, similares a las ondas, lo que se denomina análisis armónico. En 1984, Meyer leyó los estudios que Jean Morlet, Alex Grossmann e Ingrid Daubechies habían realizado sobre ondículas, lo que despertó su interés por este campo. La teoría matemática de las ondículas permite descomponer imágenes y sonidos en fragmentos matemáticos, que capturan las irregularidades del patrón, pero a la vez son manejables. Esta técnica está detrás de la compresión y el almacenaje de datos y la eliminación de ruido. Junto a Daubechies, Meyer reunió trabajos anteriores y los relacionó con las herramientas analíticas utilizadas en el análisis armónico. Este descubrimiento condujo más tarde a la demostración, por parte de Meyer, de que las ondas pueden formar conjuntos mutuamente independientes de objetos matemáticos llamados bases ortogonales. Su trabajo inspiró a Daubechies para construir las ondículas ortogonales con soporte compacto y, más tarde, las ondículas biortogonales, que revolucionaron el campo de la ingeniería. Ambos trabajaron en el desarrollo de paquetes de ondículas, que permiten una mejor adaptación a las particularidades de una señal o imagen. Actualmente están presentes en numerosas tecnologías, como por ejemplo en la compresión de imágenes digitales, y se utilizan en el formato JPEG 2000.
Una segunda revolución en las técnicas de tratamiento de datos y señales llegó en la primera década del siglo XXI con el desarrollo de las teorías de compressed sensing (detección comprimida) o compressive sampling (muestreo reducido) y matrix completion (terminación de la matriz), fruto de la colaboración entre Terence Tao y Emmanuel Candès. Esta teoría permite la reconstrucción eficiente de datos dispersos basados en muy pocas mediciones. Uno de los problemas centrales en las imágenes médicas y, generalmente, en todas las áreas del procesamiento de señales, es cómo reconstruir una señal a partir de mediciones parciales y ruidosas. Técnicas de reconstrucción avanzadas, como el compressed sensing y matrix completion, permiten la reducción del número de muestras necesarias, lo que en imágenes médicas implica una exploración más rápida del paciente.
Por ejemplo, en la actualidad los escáneres usados en técnicas de resonancia magnética de imagen llevan implementada esta herramienta matemática, lo que permite acortar el tiempo de escaneo o exposición del paciente para después reconstruir la imagen sin pérdida de calidad. Otras imágenes de baja calidad de otros ámbitos también pueden ser reconstruidas eficientemente mediante esta técnica. En definitiva, la técnica del compressed sensing ha contribuido significativamente al procesamiento de señales al permitir reconstruir la versión comprimida de una señal usando un pequeño número de mediciones lineales. Esto se ve traducido en una menor frecuencia de muestreo, menor cantidad de datos, menor uso de los recursos de almacenaje, menor requerimiento de velocidad de los convertidores analógico-digitales y menor tiempo requerido para la transmisión de los datos. Estas teorías matemáticas desarrolladas por Yves Meyer, Ingrid Daubechies, Terence Tao y Emmanuel Candès ponen de manifiesto el papel unificador y transversal de las matemáticas en diferentes disciplinas científicas e ingenierías, con soluciones prácticas aplicables en múltiples ámbitos, y constituyen un ejemplo de la utilidad del trabajo en matemáticas puras.
